Coordinate cartesiane

Disegniamo su di un piano un sistema di assi cartesiani ortogonali di ascissa x ed ordinata y.

sistema di assi cartesiani

La retta orizzontale si chiama ascissa; la retta verticale si chiama ordinata.

Decidiamo una unità di misura a piacere; di solito si usa un quadratino del quaderno a quadretti; oppure 1 centimetro su carta millimetrata. La retta orizzontale si chiama anche asse delle ascisse; la retta verticale si chiama anche asse delle ordinate. In alcuni casi la unità di misura scelta per l'asse verticale può essere diversa da quella scelta sull'asse orizzontale. Nel disegno va messa sempre una freccia, sia vicino alla lettera x, sia vicino alla lettera y; la freccia indica il verso di percorrenza. Di solito nell'asse x la freccia va verso destra; questo vuol dire che un numero aumenta di valore man mano che andiamo verso destra.

Nell'asse y la freccia si mette verso l'alto; questo indica che il numero aumenta di valore quando andiamo verso l'alto. Inoltre, è bene mettere anche lo zero, cioè indicare il punto di origine dei due assi, che coincide con il numero reale zero.

Questo sistema ci è utile per sviluppare sia la geometria nel piano sia altre funzioni matematiche. Si stabilisce, quindi, una corrispondenza tra un numero reale, cioè un numero che appartiene ad R. R è l'insieme dei numeri reali, cioè sia numeri interi, sia numeri decimali con la virgola. La corrispondenza è biunivoca, cioè è valida nei due sensi; questo vuol dire che a ciascuno degli infiniti punti di R corrisponde uno ed un solo punto sull'asse delle x; e che a ciascun punto dell'asse x, corrisponde un solo punto di R. Analogamente per l'asse y.

Coordinate di un punto P

coordinate di un punto P

 

Dato un generico punto P, esso ha una ascissa che chiamiamo x ed una ordinata che chiamiamo y. Il punto P lo possiamo indicare con:

P (x;y)

dove al posto della x mettiamo il valore che misuriamo nel sistema di assi cartesiani. Tiriamo dal punto P la parallela all'asse y; essa incontra l'asse delle x, nel punto 3; quindi scriviamo:

x=3

Tiriamo, ancora, dal punto P la parallela all'asse delle x; essa incontra l'asse delle y nel punto 2; quindi scriviamo:

y=2

Quindi il nostro punto P lo indichiamo con:

P (3;2)

Nella parentesi tonda il primo numero rappresenta l'ascissa x; il secondo numero rappresenta l'ordinata y del punto P. I due numeri rappresentano le coordinate del punto P.

Notiamo che nel disegno si tirano rette parallele dal punto P e non rette ortogonali; nel nostro caso coincidono; cioè la parallela all'asse y coincide con la verticale all'asse x.

 

Segmento di una retta

coordinate di un punto P e un punto Q

Se disegniamo un punto Q di coordinate:

Q (6;2)

possiamo unire i due punti ed ottenere un segmento di retta.

segmento PQ

Segmento vuol dire parte di una retta; nel nostro caso, tra i due punti passa una ed una sola retta, che di solito la indichiamo con la lettera minuscola r; il segmento di retta è una parte della retta r; cioè è l'insieme dei punti della retta r, che hanno ascissa maggiore o uguale a 3; hanno ascissa minore od uguale a 6; hanno ordinata costante = 2

Quando il segmento è parallelo all'asse x, la lunghezza del segmento la possiamo calcolare facendo la differenza delle ascisse dei due punti, e precisamente differenza tra ascissa maggiore e ascissa minore, cioè l'ascissa del secondo punto Q meno l'ascissa del primo punto P.

Considerando i due punti:

P (3;2)   e   Q (6;2)

La lunghezza del segmento PQ è:

PQ = 6-3 = 3 unità di misura

La lunghezza del segmento la indichiamo senza mettere la linea sopra PQ.

Scegliamo ora un altro punto Q posto sopra il punto P.

coordinate di un punto P e un punto Q

Se disegniamo un punto Q di coordinate:

Q (3;6)

possiamo unire i due punti ed ottenere un segmento di retta.

segmento PQ

Il segmento PQ, ora, è l'insieme dei punti della retta r, che hanno ascissa costante e uguale a 3; hanno ordinata maggiore o uguale a 2; hanno ordinata minore o uguale a 6.

Quando il segmento è parallelo all'asse y, la lunghezza del segmento la possiamo calcolare facendo la differenza delle ordinate dei due punti, e precisamente differenza tra ordinata maggiore e ordinata minore, cioè l'ordinata del secondo punto Q meno l'ordinata del primo punto P.

Considerando i due punti:

P (3;2)   e   Q (3;6)

La lunghezza del segmento PQ è:

PQ = 6-2 = 4 unità di misura

La lunghezza del segmento la indichiamo senza mettere la linea sopra PQ.

Scegliamo ora un punto Q non allineato come i due di prima.

 

coordinate di un punto P e un punto Q

Se disegniamo un punto Q di coordinate:

Q (6;6)

possiamo unire i due punti ed ottenere un segmento di retta.

segmento PQ

Il segmento PQ, ora, è l'insieme dei punti della retta r, che hanno ascissa maggiore o uguale a 3; hanno ascissa minore o uguale a 6; hanno ordinata maggiore o uguale a 2; hanno ordinata minore o uguale a 6.

Questa volta per calcolare la lunghezza del segmento PQ ci serve il teorema di Pitagora.

triangolo rettangolo PQS

Il segmento PQ lo consideriamo come ipotenusa del triangolo rettangolo PQS; i cateti sono il segmento SQ e il segmento SP. Dobbiamo fare i quadrati delle loro lunghezze e poi la radice quadrata.

Indichiamo con x1 ed y1 le coordinate di P; cioè:

P (x1;y1)

Indichiamo con x2 ed y2 le coordinate di Q; cioè:

Q (x2;y2)

triangolo rettangolo PQS

Il cateto SQ è lungo (x2-x1).

Il cateto SP è lungo (y2-y1).

Eleviamo al quadrato:

(x2-x1)2

(y2-y1)2

Facciamo la radice quadrata ed otteniamo che la lunghezza del segmento PQ è:

Metto i valori ed ottengo:

La distanza tra due punti corrisponde alla lunghezza del segmento che unisce i due punti; si calcola, quindi, con la stessa formula:


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