Intersezione tra due rette in un punto P

Date due rette r ed s nel piano, vogliamo trovare le coordinate di A (x1;y1), punto di incontro tra due rette non parallele tra loro.

due rette incidenti nel punto A (x1;y1)

La retta r abbia equazione implicita:

ax+by+c=0

La retta s abbia equazione implicita:

a'x+b'y+c'=0

Un eventuale punto A in comune deve appartenere alle due rette, cioè deve soddisfare contemporaneamente le due equazioni:

 

Abbiamo impostato un sistema di equazioni; il sistema comprende due equazioni di 1° grado, in due incognite; una incognita è la x; l'altra incognita è la y. Il sistema è di 1°, di primo grado, in quanto non vi sono equazioni di 2°, di secondo grado.

Vi sono tre casi possibili.

1° caso

I coefficienti delle incognite x ed y siano tutti diversi; cioè i rapporti tra di loro:

da cui:

cioè i due coefficienti angolari delle due rette

e

non sono uguali; quindi le due rette non sono parallele; quindi avranno un solo punto in comune. Si dice che il sistema è determinato, cioè vi è una sola soluzione del sistema.

2° caso

I coefficienti delle incognite x ed y diano rapporti uguali tra loro ma diversi dal rapporto dei termini noti c e c'; cioè i rapporti tra di loro siano:

da cui abbiamo:

cioè i due coefficienti angolari delle due rette

e

sono uguali; quindi le due rette sono parallele, ma non coincidono, in quanto i termini noti c e c' sono diversi; quindi non avranno alcun punto in comune. Il sistema non ha soluzioni, cioè non vi sono punti che soddisfino contemporaneamente le due equazioni del sistema. Si dice che il sistema è impossibile.

3° caso

I coefficienti delle incognite x ed y diano rapporti uguali tra loro e uguali anche al rapporto dei termini noti c e c'; cioè i rapporti tra di loro siano:

da cui abbiamo:

cioè i due coefficienti angolari delle due rette

e

sono uguali; quindi le due rette sono parallele e coincidono, in quanto i termini noti c e c' sono uguali o meglio hanno lo stesso rapporto; quindi le due rette avranno infiniti punti in comune. Il sistema ha infinite soluzioni, cioè vi sono infiniti punti che soddisfino contemporaneamente le due equazioni del sistema. Si dice che il sistema è indeterminato.

Esempio

due rette incidenti nel punto A (x1;y1)

Date le rette di equazione -0,5x+y-5=0 e 0,5x+y-15=0 trovare le coordinate del punto di intersezione tra le due rette.

Soluzione

Imposto un sistema di equazioni:

Sommo membro a membro le due equazioni, metto la somma nella seconda equazione, lasciando la prima inalterata; ottengo:

Mi ricavo y dalla seconda;

da cui

y=10

Sostituisco y nella prima; ottengo:

Porto al secondo membro, nella prima, e cambio di segno.

Mi ricavo la x dalla prima.

In definitiva:

rette incidenti nel punto A(10;10)

Il punto di intersezione tra le due rette è:

A(10;10).

 

Distanza di un punto da una retta.

La distanza di un punto da una retta si misura mandando prima una retta che parte dal punto P ed è perpendicolare alla retta data.

rette ortogonali r ed s

La distanza del punto P dalla retta r è la lunghezza del segmento PH; H è il punto di intersezione tra le due rette ortogonali tra loro r ed s.

Per calcolare, quindi, la distanza del punto P dalla retta r, dobbiamo:

1 - mandare una retta ortogonale ad r e che passi per il punto P;

2 - trovare le coordinate del punto H di intersezione tra le due rette, mediante il sistema di primo grado, con le equazioni delle due rette ortogonali;

3 - calcolare la distanza tra il punto P ed il punto H, con la formula della distanza tra due punti;

4 - la distanza tra i due punti equivale alla distanza del punto P dalla retta r.

Procediamo con ordine.

Sia data la retta r di equazione esplicita:

y=mx+q

dove m è il coefficiente angolare della prima retta; q è il punto di intersezione della prima retta con l'asse delle y.

La retta ortogonale alla prima ha coefficiente angolare:

Se questa retta s deve passare per il punto P (x1;y1), essa ha equazione:

Troviamo, ora, le coordinate del punto H (x2;y2) di intersezione tra le due rette, mediante un sistema di primo grado, con le equazioni delle due rette ortogonali:

sia x2 la ascissa di H e y2 l'ordinata di H. Mi calcolo la lunghezza del segmento HP con la formula della distanza tra due punti del piano:

che nel nostro caso diventa:

La distanza del punto P dalla retta r è uguale alla lunghezza del segmento segmento HP.

Esempio

Trovare la distanza del punto P(5;3) dalla retta di equazione y=-0,8x+3,3

 HP = distanza di P dalla retta r

Svolgimento del problema

Seguo in ordine il procedimento indicato.

1 - mi calcolo l'equazione della retta ortogonale ad r e che passi per il punto P;

 

Data la seguente equazione:
y=-0,8x+3,3

La equazione della retta è nella forma esplicita.
Il coefficiente angolare è:
 m = -0,8
Il punto di intersezione con l'asse y è:
 q = 3,3



Dati

Si richiede l'equazione della retta r passante per P ( 5 ; 3 )
ortogonale alla retta di equazione:
y =-0,8 x+3,3
che ha coefficiente angolare m = -0,8

Mi calcolo il coefficiente angolare m' della retta ortogonale con la formula:
m' = -

Sostituisco ed ottengo:
m' = - = 1,25

Applico la formula della retta passante per un punto ed avente coefficiente angolare m:
y= m(x - x1) + y1
Sostituisco il valore di m' ad m ed ottengo:
y= 1,25(x - 5) + 3
da cui
y= 1,25x-6,25+3
da cui
y= 1,25x-3,25

La retta passante per P ( 5 ; 3 ) ed ortogonale alla retta di equazione:
y =-0,8 x+3,3
ha equazione:
y= 1,25x-3,25

2 - trovo le coordinate del punto H di intersezione tra le due rette, mediante il sistema di primo grado, con le equazioni delle due rette ortogonali;

Imposto un sistema con le due equazioni:

Ricavo la y dalla seconda equazione y=1,25 x-3,25
Il valore di y nella seconda equazione del sistema è:
y = 1,25x-3,25
lo vado a sostituire nella prima equazione del sistema cioè:
y=-0,80 x+3,3
Il mio sistema diventa:

Mi trovo la x soluzione della prima equazione del sistema, che è di 1° grado:
(1,25x-3,25)=-0,80x+3,3

Porto tutto al primo membro e cambio di segno.
(1,25x-3,25) +0,80x -3,3 = 0

Tolgo due parentesi tonde ed ottengo:
1,25x-3,25 +0,80x -3,3 = 0
Raccolgo a fattor comune ed ottengo:
(1,25+0,80) x +(-3,25-3,3) = 0
Sommo ed ottengo:
+2,05 x -6,55 = 0
Applico le formule
x =

dove: b = coefficiente della x ; c = termine noto senza la x.
Ottengo
x = = 3,1951219512195

Il mio sistema diventa:

Metto nella seconda equazione del sistema il valore di x trovato, cioè 3,1951219512195 ed ottengo:

Risolvo la seguente equazione di 1° grado nella variabile x:
x=1,25(3,1951219512195)-3,25
da cui:

x = 3,9939024390244-3,25
Quindi:
x =  0,7439024390244

In definitiva:
x =3,1951219512195
y = 0,7439024390244
Il punto di intersezione delle due rette è H( 3,1951219512195 ; 0,7439024390244 )

Arrotondo a H( 3,20 ; 0,74 )

3 - calcolo la distanza tra il punto P ed il punto H, con la formula della distanza tra due punti;

 


Dati
Figura geometrica: segmento HP
estremo sinistro H ( 3,2 ; 0,74 )
estremo destro P ( 5 ; 3 )

Si richiede la lunghezza del segmento HP

Applico la formula:



ed ottengo:

HP = V (3,2-5)² + (0,74-3)² =
= V 3,24 + 5,1076 =
= V 8,3476 =
= 2,889 unità di misura

Quindi HP = 2,889 u


4 - la distanza tra i due punti equivale alla distanza del punto P dalla retta r.
Quindi il punto P dista dalla retta  2,889 u

Mi ha aiutato per fare i calcoli il: Calcolatore geometrico

 

Esempio

Trovare la distanza del punto P(15;10) dalla retta di equazione x=5.

Svolgimento del problema

Seguo in ordine il procedimento indicato.

1 - mi calcolo l'equazione della retta ortogonale ad r e che passi per il punto P;

Data l' equazione:


x=5

notiamo che è una retta parallela all'asse y;
il coefficiente della x è a = 1
il coefficiente della y è b = 0
il termine noto è c = -5



Si richiede l'equazione della retta r passante per P ( 15 ; 10 )
ortogonale alla retta di equazione:
x=5
che ha coefficiente angolare m = ∞
La retta ortogonale è parallela all'asse x ed ha equazione: y = y1
Metto il valore ed ottengo:
y = 10

Eseguo il disegno dei grafici delle due rette.

 

2 - trovo le coordinate del punto H di intersezione tra le due rette; non occorre  il sistema di primo grado, con le equazioni delle due rette ortogonali, in quanto i due punti si trovano su di un asse parallelo all'asse x; il punto H ha la stessa ordinata y del punto assegnato, cioè 10, mentre l'ascissa x di H è quella della stessa retta assegnata, cioè 5; quindi è:

H ( 5 ; 10 )

3 - calcolo la distanza tra il punto P ed il punto H, con la formula della distanza tra due punti;

Figura geometrica: segmento HP
estremo sinistro H ( 5 ; 10 )
estremo destro P ( 15 ; 10 )

Si richiede la lunghezza del segmento i cui estremi sono:
estremo sinistro H ( 5 ; 10 )
estremo destro P ( 15 ; 10 )

Applico la formula:




ed ottengo:


HP = V (15-(5))² + (10-(10))² =
= V 100 + 0 =
= V 100 =
= 10 unità di misura

Quindi HP = 10 u

 

4 - la distanza tra i due punti equivale alla distanza del punto P dalla retta r.
 

Il punto P ( 15 ; 10 ) dista dalla retta di equazione: x=5
10 u


Mi ha aiutato per fare i calcoli il: Calcolatore geometrico

 

Esempio

Trovare la distanza del punto P(5;10) dalla retta di equazione y=3,3.

Svolgimento del problema

Seguo in ordine il procedimento indicato.

1 - mi calcolo l'equazione della retta ortogonale ad r e che passi per il punto P;

Data l'equazione:
y=3,3
il coefficiente della x è a = 0
il coefficiente della y è b = 1
il termine noto è c = -3,3





Si richiede l'equazione della retta r passante per P ( 5 ; 10 )
ortogonale alla retta di equazione:
y=3,3
che ha coefficiente angolare m = 0

Non posso calcolare il coefficiente angolare m' della retta ortogonale con la formula:
m' = -

La retta ortogonale è parallela all'asse y ed ha equazione: x = x1
Metto il valore ed ottengo: x = 5
 

2 - trovo le coordinate del punto H di intersezione tra le due rette; non occorre  il sistema di primo grado, con le equazioni delle due rette ortogonali, in quanto i due punti si trovano su di un asse parallelo all'asse y; il punto H ha la stessa ascissa x del punto assegnato, cioè 5, mentre l'ordinata y di H è quella della stessa retta assegnata, cioè 3,3; quindi è:

H ( 5 ; 3 )



 

In ogni caso il sistema è:


Il sistema ammette la soluzione:


3 - calcolo la distanza tra il punto P ed il punto H, con la formula della distanza tra due punti;


Figura geometrica: segmento HP
estremo sinistro H ( 5 ; 3,3 )
estremo destro P ( 5 ; 10 )


Si richiede la lunghezza del segmento i cui estremi sono:
estremo sinistro H ( 5 ; 3,3 )
estremo destro P ( 5 ; 10 )

Applico la formula:



ed ottengo:


HP = V (5-5)² + (10-3,3)² =
= V 0 + 44,89 =
= V 44,89 =
= 6,7 unità di misura

Quindi HP = 6,7 u


4 - la distanza tra i due punti equivale alla distanza del punto P dalla retta r.

Il punto P ( 5 ; 10 ) dista dalla retta di equazione:y=3,3

6,7 u

Mi ha aiutato, per fare i calcoli, il: Calcolatore geometrico

 

Asse di un segmento

Il punto medio di un segmento lo abbiamo già visto.

Quando il segmento è parallelo all'asse x, abbiamo:

punto medio M

le coordinate del punto medio M di un generico segmento sono:

Se mandiamo una retta perpendicolare al segmento e passante per il punto medio, questa retta si chiama asse del segmento.

asse di un segmento AB

L'asse del segmento gode della proprietà che ogni suo punto P ha la stessa distanza dagli estremi A e B, cioè ogni punto dell'asse è equidistante dagli estremi. Inoltre l'asse è ortogonale al segmento; quindi le due rette, cioè quella del segmento e quella dell'asse, sono ortogonali ed hanno, quindi il coefficiente angolare:

il reciproco, cambiato di segno.

 

L'equazione dell'asse la posso scrivere in questa forma:

dove x1 ed y1 sono le coordinate di un generico punto dell'asse e quindi anche le coordinate del punto medio M(x;y) che ricavo dalla formula:

dove considero le coordinate degli estremi del segmento A(x1;y1) e B(x2;y2)

 


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